回答

＜はじめに：　この回答はご相談のあった１９９９年８月に
　　　　　　　すでにご相談者あて回答したものですが、
　　　　　　　当相談コーナーのシステム改善の都合上、
　　　　　　　再度編集して掲示しております。ご了承ください。＞

一般的には神仏に係わるものは「平易に扱うことは禁物」です。

神棚は最寄の神社へ、お仏壇は信仰されているお寺さんの扱いになります。
神様のものは神社へ、仏様のものはお寺に返します。

なぜ「返す」と言うのかは神社やお寺にお尋ねください。

神社の場合は
毎年新年に昨年１年間の神物（お札やお守り）などを
奉納する儀式があります。
その折に「神棚」も一緒に奉納します。
奉納の場所は新年の場合は通年の奉納場所より大きくなります。

奉納された「神物（お札やお守り）など」は祝詞の中で燃やされます。
金額的なものは不要でしょう。

神棚は「社（やしろ）」です。中に祭る「お札（ふだ）」が重要です。
神棚を新しくすれば中の「お札」も
最寄の神社からいただくことになります。
新規購入のお札等は有料になります。

また、お仏壇は宗派にもよりますが
お仏壇屋さんが廃棄してくださるようです。
お寺さんにご相談いただけば
お仏壇屋さんもご紹介くださいます。

新規購入のお仏壇があるようであれば、
古い仏壇は引き取ってくださいます。
ただし、こちらもお坊さんを呼んでの儀式が必要だと思います。
儀式費用や廃棄処分代金はお仏壇店にお尋ねください。

一般的にはこれら神仏に係わるものは焼却処分になりますが
処分する側がそれらを嫌がります。

公的な職員がこの焼却処分に立ち会って
精神的に処分の怨念を背負うことになりそうなことは
誰もやりたがらないと思います。

やはり、神様や仏様に対面している方々（神主や坊さん）に
「除霊」をかねてご相談することが望ましいと思います。